Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列．
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．
（3）在满足（2）的条件下，求数列{

2n+1

bn

}的前n项和T_n

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1，进而得出a_n和a_n-1的关系整理得

an

an-1

=

m

1+m

，因m为常数，进而可证明当n≥2时数列{a_n}是等比数列．，当n=1时等式也成立，原式得证．
（2）根据（1）可得f（m）的解析式．再根据b_n=f（b_n-1）整理可得

1

bn

-

1

bn-1

=1进而推知数列{b_n}为等差数列，首项为2a₁，公差为1，再根据等差数列的通项公式可得答案．
（3）把（2）中的b_n代入{

2n+1

bn

}，再通过错位相减法求得T_n

解答：解：（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m为常数，且m＞0，∴

an

an-1

=

m

1+m

（n≥2）．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为

m

1+m

的等比数列．
（2）解：由（1）得，q=f（m）=

m

1+m

，b₁=2a₁=2．
∵bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

，
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1（n≥2）．
∴{

1

bn

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列．
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，即bn=

2

2n-1

（n∈N^*）．
（3）解：由（2）知bn=

2

2n-1

，则

2n+1

bn

=2n(2n-1)．
所以Tn=

22

b1

+

23

b2

+

24

b3

++

2n

bn-1

+

2n+1

bn

，
即T_n=2¹×1+2²×3+2³×5++2^n-1×（2n-3）+2ⁿ×（2n-1），①
则2T_n=2²×1+2³×3+2⁴×5++2ⁿ×（2n-3）+2ⁿ⁺¹×（2n-1），②
②-①得T_n=2ⁿ⁺¹×（2n-1）-2-2³-2⁴--2ⁿ⁺¹，
故Tn=2n+1×(2n-1)-2-

23(1-2n-1)

1-2

=2n+1×(2n-3)+6．

点评：本题主要考查等比数列的性质．当出现等比数列和等差数列相乘的形式时，求和可用错位相减法．