【题目】已知函数
(1)设,试讨论
的单调性;
(2)若函数在
上有最大值,求实数a的取值范围
【答案】(1)在上单调递增,在
上单调递减;(2)
【解析】
(1)计算,
,讨论
,
两种情况,计算得到答案.
(2)讨论,
,
三种情况,求导得到函数单调区间,
,由零点存在性定理,存在
,使得
,计算最值得到答案.
(1),令
,
;
当时,
,
在
上递增,无减区间;
当时,令
,则
,令
,则
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)由(1)可知,当时,
在
上递增,
,
在
上递增,无最大值,不合题意;
当时,
,
在
上递减,
故,
在
上递减,无最大值,不合题意;
当时,
,由(1)可知
在
上单调递增,在
上单调递减;
设,则
;
令,则
;令
,则
,
在
上单调递减,在
单调递增,
,即
,
由此,当时,
,即
.
所以,当时,
.
取,则
,且
,
又因为,
所以由零点存在性定理,存在,使得
;.
当时,
,即
;
当时,
,即
;
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
故函数在上有最大值
.
综上,.
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【题目】已知在平面直角坐标系内,曲线的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)把曲线和直线
化为直角坐标方程;
(2)过原点引一条射线分别交曲线
和直线
于
,
两点,射线上另有一点
满足
,求点
的轨迹方程(写成直角坐标形式的普通方程).
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【题目】已知函数.
(1)若在
处的切线方程为
,求实数
的值;
(2)证明:当时,
在
上有两个极值点;
(3)设,若
在
上是单调减函数(
为自然对数的底数),求实数
的取值范围.
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【题目】2020年,新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心,八方驰援战疫情,众志成城克时难,社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎,重庆某医院派出3名医生,2名护士支援湖北,现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院,则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )
A.0.7B.0.4C.0.6D.0.3
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【题目】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点,
距离之比为常数
且
的点的轨迹是一个圆心在直线
上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息,解决下面的问题:如图,在长方体
中,
,点
在棱
上,
,动点
满足
.若点
在平面
内运动,则点
所形成的阿氏圆的半径为________;若点
在长方体
内部运动,
为棱
的中点,
为
的中点,则三棱锥
的体积的最小值为___________.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
、
两点,求
的面积.
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【题目】某工厂共有50位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时(单位:分钟)与人数的分布情况.由散点图可得,这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为___________.若将500个要组装的零件分给每个工人,让他们同时开始组装,则至少要过_________分钟后,所有工人都完成组装任务.(本题第一空2分,第二空3分)
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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