Question

已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点P满足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos²θ=1．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设过点A的直线l交曲线C于E、F两点，若△BEF的面积等于，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）在△PAB中，
由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA||PB|（1+cos2θ）
=（|PA|+|PB|）²-4|PA|•|PB|cos²θ
=（|PA|+|PB|）²-4．
∴，
即动点P的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆．
∴动点P的轨迹C的方程为：．
（2）设直线l的方程为x=ty-1，
由，
得到（t²+2）y²-2ty-1=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则，
∴
=
=
=
=．
解得t²=1，
∴t=±1，
当t=±1，方程（t²+2）y²-2ty-1=0的△=4+4×3=16＞0适合，
∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0．
分析：（1）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，所以，由此能求出动点P的轨迹C的方程．
（2）设直线l的方程为x=ty-1，由，得到（t²+2）y²-2ty-1=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则，=．由此能求出直线l的方程．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．