Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，AB₁与A₁B的交点为O．
（1）求证：CD∥平面A₁EB；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁EB．

Answer 1

证明：（1）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AB₁的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB₁且．
又E是CC₁中点，
则EC∥BB₁且，即EC∥OD且EC=OD，
则四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，
则CD∥平面A₁BE．…（7分）
（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
所以BB₁⊥平面ABC．
因为CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因为侧面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．…（14分）
分析：（1）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD．证明EO∥CD．说明CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，即可证明CD∥平面A₁BE．
（2）利用三棱柱各侧面都是正方形，然后证明CD⊥平面A₁ABB₁．证明EO⊥AB₁．AB₁⊥A₁B，即可证明AB₁⊥平面A₁BE．
点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判断与证明，考查空间想象能力，逻辑推理能力．