Question

2．已知函数f（x）（x∈R，且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1时，f（x）＞0恒成立．
（1）求f（1）；
（2）若x∈[1，+∞）时，不等式f（$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞f（1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）（1）令x=y=1，根据函数f（x）（x∈R，且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），我们易构造关于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）易将不等式f（$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞f（1）转化为a＞-x²-x在x∈[1，+∞）时恒成立，根据二次函数的性质，我们即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
（2）任取0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，则题意得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在其定义域内为增函数，由（1）和f（1）=0，
当x∈[1，+∞）时，不等式f（$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞f（1）恒成立，
即$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞1恒成立，
即x²+2x+a＞x，即a＞-x²-x在x∈[1，+∞）时恒成立，
∵-x²-x在x∈[1，+∞）时最大值为-2，
∴a＞-2．

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中（1）的关键是“凑配”思想的应用，（2）的关键是利用函数的单调性对不等式f（$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$）＞f（1）进行变形，是一道中档题．