Question

6．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 由向量垂直的条件可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=0，化简可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，再由向量的夹角公式可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，再由同角的平方关系，可得夹角的正弦值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|=2，即为|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$），
可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=0，
即有$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{b}$²=0，
即4+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3=0，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，
即cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{2×1}$=-$\frac{1}{4}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
即有sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\sqrt{1-（-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角的正弦，考查运算能力，属于中档题．