Question

【题目】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.

（1）求的方程，并说明是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交于、两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点，

①证明：是直角三角形；

②求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1），曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）利用列方程，化简后求得的方程，并判断出是何种曲线.

（2）①通过计算，由此证得为直角三角形.

②利用弦长公式，计算出，利用三角形面积公式求得面积，进而求得面积的最大值.

（1），依题意，即，化简得.曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点.

（2）①依题意可知，直线的斜率存在且不为零.

设直线的方程为，与曲线的方程联立得，消去得.由于在第一象限，故

.

由于轴，垂直为点，所以，.

则，

由，消去得，所以，而,所以，.

所以.所以，所以为直角三角形.

②由①知，为直角三角形，且，所以.

，

，

所以，

令，所以.所以当，即时，取得最大值为.