【题目】已知数列的前n项和为
,且
.
(1) 证明数列是等比数列,并求出数列
的通项公式;
(2) 记,求数列
的前n项和
.
【答案】(1) 证明见解析,; (2)
.
【解析】
(1)运用数列的递推式:n=1时,a1=S1,当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,计算可得an=2an﹣1+1,即an+1=2(an﹣1+1),
由等比数列的定义和通项公式可得所求;
(2),运用错位相减法求和即可
(1)证明:(n∈N*),
可得n=1时,a1=S1+1=2a1,
即a1=1,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,
Sn+n=2an,Sn﹣1+n﹣1=2an﹣1,
相减可得an+1=2an﹣2an﹣1,
可得an=2an﹣1+1,即an+1=2(an﹣1+1),
则数列{an+1}为首项为2,公比为2的等比数列,
可得an+1=2n,即an=2n﹣1;
(2)
前n项和为Tn=①
2Tn=②
① ②相减可得﹣Tn=2+2(22+…+2n)﹣=
化简可得
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【题目】椭圆的离心率为
,其左焦点到点
的距离为
,不过原点O的直线
与C交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求k的值;
(3)求面积取最大值时直线l的方程.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,离心率为
,椭圆
上的点到焦点距离的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
,且
,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆C:过点
,左右焦点为
,且椭圆C关于直线
对称的图形过坐标原点。
(I)求椭圆C方程;
(II)圆D:与椭圆C交于A,B两点,R为线段AB上任一点,直线F1R交椭圆C于P,Q两点,若AB为圆D的直径,且直线F1R的斜率大于1,求
的取值范围.
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【题目】某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛(任意两个参赛队伍只比赛一场),有高一、高二、高三共三个队参赛,高一胜高二的概率为,高一胜高三的概率为
,高二胜高三的概率为
,每场胜负相互独立,胜者记1分,负者记0分,规定:积分相同时,高年级获胜.
(1)若高三获得冠军的概率为,求
;
(2)记高三的得分为,求
的分布列和期望.
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【题目】某工厂拟建一座平面图(如右图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.
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