Question

14．在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，E是PD中点．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（3）求二面角P-BC-A的大小；
（2）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）要证PB∥平面ACE，只需证明PB与平面ACE内的一条直线平行即可，连接BD交AC于O，则O为AC的中点，从而OE为三角形PBD的中位线，易知EO∥PB，从而得证；
（2）取BC中点H，连结AH，PH，则AH⊥BC，PH⊥BC，∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的大小．
（3）作EF⊥AD，则EF为三棱锥E-ACD的高，从而可求体积．

解答 证明：（1）连接BD交AC于O，∵ABCD为菱形，则BO=OD，
连接EO，则EO∥PB
∵EO?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
解：（2）取BC中点H，连结AH，PH，
∵在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，
∴AH⊥BC，PH⊥BC，
∴∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，
且AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠PHA=$\frac{PA}{AH}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴∠PHA=arctan$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角P-BC-A的大小为arctan$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（3）作EF⊥AD，则EF∥PA，
∵PA⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，
∵PA=2，∴EF=1，
∵底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，
∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\sqrt{3}$．
三棱锥E-ACD的体积为V=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．