Question

已知a∈R，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然对数的底数）
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的极值；
（2）令F(x)=

f(x)

g(x)

，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，利用导数的正负性判断单调性，从而求函数的极值；
（2）求出F（x）的导数，化简构造函数h（x），求出h（x）的导数，讨论函数h′（x）正负性，判断h（x）的单调性，根据h（x）的正负性，判断F（x）的单调性，从而求出参数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-x-lnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

，
∴当0＜x＜1，时f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴在x=1时，f（x）有极小值，且极小值f（x）=f（1）=0；
（2）F（x）=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，定义域为（0，+∞），
F′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，
令h（x）=-x2+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，则h′（x）=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a，
h^″（x）=-2-

1

x3

-

1

x2

＜0，故h′（x）在区间（0，1]上单调递减，
从而对（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2-a
①当2-a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，∴y=h（x）在区间（0，1]上单调递增，
∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，
∴y=F（x）在区间（0，1]上是减函数，a≤2满足题意；
②当2-a＜0，即a＞2时，由h′（1）＜0，h′（

1

a

）=-

2

a

+a2+2＞0，0＜

1

a

＜1，
且y=h′（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，
∴y=h′（x）在区间（0，1]有唯一零点，设为x₀，
∴h（x）在区间（0，x₀）上单调递增，在（x₀，1]上单调递减，
∴h（x₀）＞h（1）=0，而h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a＜0，
且y=h（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，
y=h（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，
即y=F′（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，
又F（x）在区间（0，x′）上单调递减，在（x′，1）上单调递增，
矛盾，a＞2不合题意；
综上所得：a的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题考查的是利用导数求函数的极值，同时考查了利用导数解决参数问题，利运用了二次求导，是一道导数的综合性问题．属于难题．