Question

1．已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 设b_n=$\frac{3}{{2{S_n}+4n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，利用等差数列与等比数列的通项公式可得$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=70}\\{{a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{6}}\end{array}\right.$，解出即可；
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{n（1+3n-2）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$．b_n=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=70}\\{{a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=10}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+5d）}\end{array}\right.$，又d≠0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{n（1+3n-2）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$．
b_n=$\frac{3}{{2{S_n}+4n}}$=$\frac{3}{2×\frac{3{n}^{2}-n}{2}+4n}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．