Question

9．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若{x|f（x）≤0}=[b，c]（其中b＜c），求a的取值范围，并说明[b，c]⊆（0，1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过a的范围，判断导函数的符号，即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用（Ⅰ），直接求解 a＞e．当a＞e时．构造函数g（x）=x-2lnx（x≥e），求出导数，当x＞e时，推出 然后求解bc的范围，即可说明[b，c]⊆（0，1）．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{ax-1}{x^2}（x＞0）$．…（2分）
（ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，则函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．
…（3分）
（ⅱ）当a＞0时，令f′（x）=0，得$x=\frac{1}{a}$．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表

x	$（0，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以 f（x）的单调递减区间是$（0，\frac{1}{a}）$，单调递增区间是$（\frac{1}{a}，+∞）$．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当a＜0时，函数f（x）在区间（0，+∞）内是减函数，
所以，函数f（x）至多存在一个零点，不符合题意．…（6分）
当a＞0时，因为 f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$内是减函数，在$（\frac{1}{a}，+∞）$内是增函数，
所以 要使{x|f（x）≤0}=[b，c]，必须$f（\frac{1}{a}）＜0$，即$aln\frac{1}{a}+a＜0$．
所以 a＞e．…（7分）
当a＞e时，$f（\frac{1}{a^2}）=aln（\frac{1}{a^2}）+{a^2}=-2alna+{a^2}=a•（a-2lna）$．
令g（x）=x-2lnx（x≥e），则$g'（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}（x≥e）$．
当x＞e时，g′（x）＞0，所以，g（x）在[e，+∞）上是增函数．
所以 当a＞e时，g（a）=a-2lna＞g（e）=e-2＞0．
所以 $f（\frac{1}{a^2}）＞0$．…（9分）
因为 $\frac{1}{a^2}＜\frac{1}{a}＜1$，$f（\frac{1}{a}）＜0$，f（1）=1＞0，
所以 f（x）在$（\frac{1}{a^2}，\frac{1}{a}）$内存在一个零点，不妨记为b，在$（\frac{1}{a}，1）$内存在一个零点，不妨记为c．…（11分）
因为 f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$内是减函数，在$（\frac{1}{a}，+∞）$内是增函数，
所以 {x|f（x）≤0}=[b，c]．
综上所述，a的取值范围是（e，+∞）．…（12分）
因为 $b∈（\frac{1}{a^2}，\frac{1}{a}）$，$c∈（\frac{1}{a}，1）$，
所以[b，c]⊆（0，1）．…（13分）

点评 本题考查函数的导数判断函数的单调性，函数的最值的求法，考查分类讨论以及分析问题解决问题的能力．