Question

10．矩阵$（{\begin{array}{l}1&{{a_{12}}}&…&{{a_{1i}}}&…&{{a_{1n}}}\\ 2&{{a_{22}}}&…&{{a_{2i}}}&…&{{a_{2n}}}\\ 3&{{a_{32}}}&…&{{a_{3i}}}&…&{{a_{3n}}}\\?&?&?&?&?&?\\ n&{{a_{n2}}}&…&{{a_{ni}}}&…&{{a_{nn}}}\end{array}}）$中每一行都构成公比为2的等比数列，第i列各元素之和为S_i，则$\lim_{n→∞}\frac{{{S_n}_{\;}}}{{{n^2}•{2^n}}}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先求出S_i=2^i-1（1+2+…+n）=$\frac{n（n+1）}{2}$•2^i-1，再求极限即可．

解答 解：∵矩阵$（{\begin{array}{l}1&{{a_{12}}}&…&{{a_{1i}}}&…&{{a_{1n}}}\\ 2&{{a_{22}}}&…&{{a_{2i}}}&…&{{a_{2n}}}\\ 3&{{a_{32}}}&…&{{a_{3i}}}&…&{{a_{3n}}}\\?&?&?&?&?&?\\ n&{{a_{n2}}}&…&{{a_{ni}}}&…&{{a_{nn}}}\end{array}}）$中每一行都构成公比为2的等比数列，第i列各元素之和为S_i，
∴S_i=2^i-1（1+2+…+n）=$\frac{n（n+1）}{2}$•2^i-1，
∴$\lim_{n→∞}\frac{{{S_n}_{\;}}}{{{n^2}•{2^n}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n（n+1）}{4{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查数列的极限与求和，考查学生的计算能力，正确求和是关键．