Question

16．已知区域T$\left\{{\left.{（x，y）}\right|\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ 0≤x≤\sqrt{y}\end{array}\right.}\right\}$的面积为t，当x，y∈T时，z=tx-$\frac{11}{3}$y的最大值是（　　）

• A． -22
• B． $\frac{11}{3}$
• C． 0
• D． $\frac{11}{3}$

Answer 1

分析 利用定积分求出t，然后通过线性规划求出z=tx-$\frac{11}{3}$y的最大值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ x=\sqrt{y}\end{array}\right.$可得x=-3（舍去），x=2，
∴t=${∫}_{0}^{2}（6-x-{x}^{2}）{d}_{x}$=$（6x-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{2}$=$\frac{22}{3}$．
∴z=$\frac{22}{3}$x-$\frac{11}{3}$y，约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ 0≤x≤\sqrt{y}\end{array}\right.$的可行域如图：

z=$\frac{22}{3}$x-$\frac{11}{3}$y，化为y=2x-$\frac{3}{11}z$，显然y=2x-$\frac{3}{11}z$与y=x²相切时，z取得最大值．
可得2x-$\frac{3}{11}z$=x²，即：x²-2x+$\frac{3}{11}z$=0，△=4-$4×\frac{3}{11}z≥0$，可得z≤$\frac{11}{3}$．
z的最大值为：$\frac{11}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查线性规划的应用，画出可行域以及目标函数的几何意义是解题的关键．