Question

16．已知函数f（x）=ax²+bx+c，当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立．
（Ⅰ）若a=1，b=c，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）=|cx²-bx+a|，当|x|≤1时，求g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1，b=c，则|f（1）|=|1+b+b|≤1，f（x）的对称轴$x=-\frac{b}{2}∈[0，\frac{1}{2}]$，进而求得实数b的取值范围；
（Ⅱ）由当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，利用放缩法，可得当x=0时，g（x）=|-x²+2|取到最大值2．

解答 解：（Ⅰ）由a=1且b=c，得$f（x）={x^2}+bx+b={（x+\frac{b}{2}）^2}+b-\frac{b^2}{4}$，…（1分）
当x=1时，|f（1）|=|1+b+b|≤1，得-1≤b≤0． …（3分）
故f（x）的对称轴$x=-\frac{b}{2}∈[0，\frac{1}{2}]$，
所以当|x|≤1时，$\left\{\begin{array}{l}f{（x）_{min}}=f（-\frac{b}{2}）=b-\frac{b^2}{4}≥-1\\ f{（x）_{max}}=f（-1）=1≤1.\end{array}\right.$，…（5分）
解得          $2-2\sqrt{2}≤b≤2+2\sqrt{2}$…（6分）
综上，实数b的取值范围为$[2-2\sqrt{2}，0]$． …（7分）
（Ⅱ）由当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，…（8分）
且由  f（-1）=a-b+c，f（0）=c，f（1）=a+b+c，
解得$a=\frac{f（-1）+f（1）-2f（0）}{2}$，$b=\frac{f（1）-f（-1）}{2}$，c=f（0）．…（10分）
故$g（x）=|{f（0）{x^2}-\frac{f（1）-f（-1）}{2}x+\frac{f（-1）+f（1）-2f（0）}{2}}|$
$\begin{array}{l}≤|{f（0）（{x^2}-1）}|+|{\frac{f（-1）-f（1）}{2}x+\frac{f（-1）+f（1）}{2}}|\\≤|{f（0）}||{{x^2}-1}|+max\{|{f（-1）}|，|{f（1）}|\}\end{array}$
≤1+1=2…（14分）
且当a=2，b=0，c=-1时，若|x|≤1，则|f（x）|=|2x²-1|≤1恒成立，
且当x=0时，g（x）=|-x²+2|取到最大值2．
所以，g（x）的最大值为2． …（15分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的应用，恒成立问题，最值问题，综合性可，难度较大．