已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.且|F1F2|=2.点P(2.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$)在椭圆上．(1)求椭圆C的方程,(2)设O为坐标原点.圆O:x2+y2=a2.B1.B2(0.b).E为椭圆C上异于顶点的任意一点.点F在圆O上.且EF⊥x轴.E与F在x轴两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点P（2，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，圆O：x²+y²=a²，B₁（0，-b），B₂（0，b），E为椭圆C上异于顶点的任意一点，点F在圆O上，且EF⊥x轴，E与F在x轴两侧，直线EB₁，EB₂分别与x轴交于点C，H，记直线FG，FH的斜率分别为k₁，k₂，问：k₁k₂是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

分析（1）求得c=1，将P的坐标代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设E（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，①由题可设F（m，t），m²+t²=5，②，求得m²，n²，运用直线方程，令y=0，求得G，H的坐标，再由直线的斜率公式，化简整理得到所求斜率之积为定值．

解答解：（1）由题意可得2c=2，即c=1，a²-b²=1，
点P（2，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）在椭圆上，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{5{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{5}$，b=2，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设E（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，①
由题可设F（m，t），可得m²+t²=5，②
由①②可得n²=$\frac{4}{5}$t²，
由①可得m²=-$\frac{5}{4}$（n²-4），
由B₁（0，2），B₂（0，-2），
直线EB₁：y=$\frac{n-2}{m}$x+2，
令y=0，可得x=$\frac{-2m}{n-2}$，即G（$\frac{-2m}{n-2}$，0），
直线EB₂：y=$\frac{n+2}{m}$x-2，
令y=0，可得x=$\frac{2m}{n+2}$，即H（$\frac{2m}{n+2}$，0），
即有k₁k₂=$\frac{t}{m-\frac{-2m}{n-2}}$•$\frac{t}{m-\frac{2m}{n+2}}$=$\frac{{t}^{2}（{n}^{2}-4）}{{m}^{2}{n}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}（{n}^{2}-4）}{-\frac{5}{4}（{n}^{2}-4）•\frac{4}{5}{t}^{2}}$=-1．
则k₁k₂为定值-1．

点评本题考查椭圆方程的求法，注意运用焦距和点满足椭圆方程，考查直线的斜率之积为定值的求法，注意运用点满足圆方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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