Question

1．已知p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式x+$\frac{m}{x}$-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，若￢p为真命题，p∧q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若P成立，则△＞0．若q成立，不等式x+$\frac{m}{x}$-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，即：m＞-x²+2x在x∈[2，+∞）上恒成立，利用二次函数的单调性即可得出．由￢p为真命题，p∧q为真命题，可知p假q真，即可得出．

解答 解：若P成立，则△=m²-4＞0，解得m＜-2或m＞2；
若q成立，不等式x+$\frac{m}{x}$-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，
即：m＞-x²+2x在x∈[2，+∞）上恒成立，
设f（x）=-x²+2x，则f（x）=-（x-1）²+1，当x=2时，f（x）_max=f（2）=0，∴m＞0．
∵￢p为真命题，p∧q为真命题，可知p假q真，
∴0＜m≤2．
故m的取值区间为（0，2]．

点评 本题考查了不等式的解法、二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．