Question

9．已知函数f（x）=e^x（x²-ax+a），a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上存在单调增区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数p（x）=f（x）-x²在x=0处取得极小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性，确定a的范围即可；
（Ⅱ）求出P（x）的导数，求出函数的单调区间，得到方程方程$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}-a=0$的根唯一，通过讨论根的位置，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x（x²-ax+a），a∈R，
∴f'（x）=e^x[x²-（a-2）x]=xe^x[x-（a-2）]（2分）
当a=2时，f′（x）=x²e^x≥0恒成立，f（x）在[1，2]为增函数，符合题意；
当a＞2时，f′（x）=xe^x[x-（a-2）]＞0，得x＞a-2或x＜0，
若f（x）在[1，2]上存在单调增区间，则满足a-2＜2，即2＜a＜4，
当a＜2时，f′（x）=xe^x[x-（a-2）]＞0得x＞0或x＜a-2，
∴f（x）在[1，2]为增函数，符合题意
综上可得：a＜4．…（6分）
（Ⅱ）p（x）=f（x）-x²=（x²-ax+a）e^x-x²，
∴p′（x）=x[（x+2-a）e^x-2]
由p′（x）=0得x=0或（x+2-a）e^x-2=0，
由（x+2-a）e^x-2=0得$x+2-\frac{2}{e^x}-a=0$
令$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}-a，u'（x）=1+\frac{2}{e^x}＞0$恒成立，
∴u（x）在（-∞，+∞）为单调增函数，
方程$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}-a=0$的根唯一，记为x₀．…（8分）
（1）当x₀＞0时，x∈（x₀，+∞）时，$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}-a＞0$，
即（x+2-a）e^x-2＞0，p'（x）＞0，p（x）为增函数；
x∈（0，x₀）时，$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}-a＜0$，
即（x+2-a）e^x-2＜0，p'（x）＜0，p（x）为减函数；
x∈（-∞，0）时，$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}-a＜0$，
即（x+2-a）e^x-2＜0，p'（x）＞0，p（x）为增函数；
此时p（x）在x=0处取得极大值，此种情况不符合题意．…（10分）
（2）当x₀=0时，由u（x₀）=0得a=0，p′（x）=x[（x+2）e^x-2]x∈（-∞，0）时，
$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}＜0$，即（x+2）e^x-2＜0，p′（x）＞0，p（x）为增函数；
x∈（0，+∞）时，$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}＞0$，即（x+2）e^x-2＞0，
p′（x）＞0，p（x）为增函数；又p′（0）=0，
∴p′（x）≥0恒成立，∴p（x）在（-∞，+∞）为增函数，没有极值不合题意（12分）
（3）当x₀＜0时x∈（-∞，x₀）时，$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}-a＜0$，即（x+2-a）e^x-2＜0，
p'（x）＞0，p（x）为增函数；
x∈（x₀，0）时，$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}-a＞0$，即（x+2-a）e^x-2＞0，
p'（x）＜0，p（x）为减函数；
x∈（0，+∞）时，$u（x）=x+2-\frac{2}{e^x}-a＞0$，即（x+2-a）e^x-2＞0，
p'（x）＞0，p（x）为增函数；
此时p（x）在x=0处取得极小值，符合题意．
∵u（x）在（-∞，+∞）为单调增函数，x₀＜0，
∴u（x₀）＜u（0），∴${x_0}+2-\frac{2}{{{e^{x_0}}}}＜0$
由u（x₀）=0，得${x_0}+2-\frac{2}{{{e^{x_0}}}}-a=0$，
∴$a={x_0}+2-\frac{2}{{{e^{x_0}}}}＜0$综上可得：a＜0．（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．