Question

16．设等差数列{a_n}前n项和为S_n，则有以下性质：S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，S_4k-S_3k（k≠1）成等差数列
（1）类比等差数列的上述性质，写出等比数列{b_n}前n项积T_n的类似性质；
（2）证明（1）中所得结论．

Answer 1

分析 （1）类比等差数列的上述性质，可得等比数列{b_n}前n项积T_n的类似性质：T_k，T_2k-T_k，T_3k-T_2k，T_4k-T_3k（k≠1）成等比数列．
（2）设等比数列{b_n}的公比为q，可得T_k=b₁+b₂+…+b_k，T_2k-T_k=b_k+1+b_k+2+…+b_2k=q^kT_k，同理可得：T_3k-T_2k=q^k（T_3k-T_2k），T_4k-T_3k=q^k（T_3k-T_2k）．即可证明．

解答 （1）解：类比等差数列的上述性质，可得等比数列{b_n}前n项积T_n的类似性质：T_k，T_2k-T_k，T_3k-T_2k，T_4k-T_3k（k≠1）成等比数列．
（2）证明：设等比数列{b_n}的公比为q，
则T_k=b₁+b₂+…+b_k，
T_2k-T_k=b_k+1+b_k+2+…+b_2k=q^k（b₁+b₂+…+b_k）=q^kT_k，
同理可得：T_3k-T_2k=q^k（T_3k-T_2k），
T_4k-T_3k=q^k（T_3k-T_2k）．
∴T_k，T_2k-T_k，T_3k-T_2k，T_4k-T_3k（k≠1）成等比数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．