Question

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{17}{2}$
• C． 13
• D． $\frac{17+3\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 几何体为三棱台，其中两个侧面和底面垂直，上下底为直角三角形．利用勾股定理求出斜高．

解答 解由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示，
则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC=BC=1，A′C′=B′C′=C′C=2，∴AB=$\sqrt{2}$，A′B′=2$\sqrt{2}$．
∴棱台的上底面积为$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，下底面积为$\frac{1}{2}×2×2$=2，梯形ACC′A′的面积为$\frac{1}{2}×$（1+2）×2=3，
梯形BCC′B′的面积为$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3，
过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD=CC′=2，DE为△A′B′C′斜边高的$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$．∴梯形ABB′A′的面积为$\frac{1}{2}×$（$\sqrt{2}+2\sqrt{2}$）×$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{9}{2}$．
∴几何体的表面积S=$\frac{1}{2}+2$$+3+3+\frac{9}{2}$=13．
故选：C．

点评 本题考查了棱台的结构特征和三视图，面积计算，属于中档题．