Question

15．己知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点和上顶点分别为A、B，过点F作x轴的垂线与椭圆在第一象限于点P，直线OP交AB于点Q，若|OQ|=|AQ|，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 由已知得∠POF=∠BAO，∠PFO=∠BOA，从而△POF∽△BOA，由此能求出椭圆的离心率．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点和上顶点分别为A、B，
过点F作x轴的垂线与椭圆在第一象限于点P，直线OP交AB于点Q，|OQ|=|AQ|，
∴∠POF=∠BAO，∠PFO=∠BOA，∴△POF∽△BOA，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{PF}{OB}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{b}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{b}{a}$，∴b=c，a=$\sqrt{2}c$
∴椭圆的离心率为：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\sqrt{2}c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和数形结合思想的合理运用．