Question

20．已知数列{a_n}中a₁=2，a₂=1，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}≥2}\\{\frac{4}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}＜2}\end{array}\right.$（n∈N^*），S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₇₇₈=2020．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，a₁=2，a₂=1，a₃=$\frac{4}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{2}$=2，
a₄=$\frac{2{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2×2}{1}$=4，a₅=$\frac{2{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{2×4}{2}$=4，
a₆=$\frac{2{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{2×4}{4}$=2，a₇=$\frac{2{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{2×2}{4}$=1，
…
∴数列{a_n}是以5为周期的周期数列，
∵778=5×155+3，
∴S₇₇₈=（2+1+2+4+4）×155+（2+1+2）=2020，
故答案为：2020．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．