Question

11．在△ABC中，A（2，-1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x-y+2=0．
（1）求顶点B的坐标；
（2）求直线BC的方程．

Answer 1

分析 （1）设B（x₀，y₀），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．
（2）设点A（2，-1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．

解答 解：（1）设B（x₀，y₀），则AB的中点M$（\frac{{x}_{0}+2}{2}，\frac{{y}_{0}-1}{2}）$在直线CM上，
所以$3•\frac{{x}_{0}+2}{2}+2•\frac{{y}_{0}-1}{2}$+1=0，即3x₀+2y₀+6=0   ①…（2分）
又点B在直线BT上，所以x₀-y₀+2=0       ②…（4分）
由①②得：x₀=-2，y₀=0，即顶点B（-2，0）．…（6分）
（2）设点A（2，-1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，
由题意知，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+1}{a-2}=-1}\\{\frac{a+2}{2}-\frac{b-1}{2}+2=0}\end{array}\right.$，解得a=-3，b=4，即A′（-3，4）．…（9分）
因为k_BC=${k}_{B{A}^{′}}$=$\frac{4-0}{-3-（-2）}$=-4，…（11分）
所以直线BC的方程为y=-4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）

点评 本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．