Question

19．求证：（$\frac{1}{si{n}^{4}α}$-1）（$\frac{1}{co{s}^{4}α}$-1）≥9．

Answer 1

分析 将不等式左边通分后，利用平方差公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简后可得$\frac{8}{si{n}^{2}2α}$+1，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 证明：（$\frac{1}{si{n}^{4}α}$-1）（$\frac{1}{co{s}^{4}α}$-1）
=$\frac{1-si{n}^{4}α}{si{n}^{4}α}$×$\frac{1-co{s}^{4}α}{co{s}^{4}α}$
=$\frac{（1-si{n}^{2}α）（1+si{n}^{2}α）（1-co{s}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{si{n}^{4}αco{s}^{4}α}$
=$\frac{（1+si{n}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$
=$\frac{2+si{n}^{2}αco{s}^{2}α}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$
=$\frac{2}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$+1
=$\frac{8}{si{n}^{2}2α}$+1≥9．

点评 本题主要考查了平方差公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．