Question

19．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知条件推导出数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1为首项，公差d=2的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，整理得：S_n-1-S_n=2S_n?S_n-1，
由题意知S_n≠0，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
即{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1为首项，公差d=2的等差数列．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$，n∈N^*．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2（n-1）-1}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
当n=1时，a₁=S₁=1不满足a_n，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据等差数列的通项公式求出S_n的表达式是解决本题的关键，是中档题．