Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=-$\frac{1}{4}$，且a²+b²＜c²．
（1）求sinC的值；
（2）当a=2，2sinA=sinC时．求b及c的长．

Answer 1

分析 （1）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos²C=$\frac{3}{8}$，利用同角三角函数基本关系式即可求得sinC的值．
（2）由已知可求sinA=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，由a²+b²＜c²，可得C为钝角，解得cosC=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，利用正弦定理可得c的值，由余弦定理整理可得：b²+$\sqrt{6}$b-12=0，即可解得b的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cos2C=2cos²C-1=-$\frac{1}{4}$，
∴解得：cos²C=$\frac{3}{8}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
（2）∵a=2，sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，2sinA=sinC，
∴sinA=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∵a²+b²＜c²，可得C为钝角，cos²C=$\frac{3}{8}$，
∴cosC=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴由正弦定理可得：c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{10}}{4}}{\frac{\sqrt{10}}{8}}$=4，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，即：16=4+b²-2×2×b×（-$\frac{\sqrt{6}}{4}$），整理可得：b²+$\sqrt{6}$b-12=0，解得：b=$\sqrt{6}$，或-2$\sqrt{6}$（舍去）．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．