Question

15．用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²（n∈N₊）

Answer 1

分析 利用数学归纳法来证明，当n=1时，命题成立，再假设当n=k时，k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²成立，证明当n=k+1时，命题也成立

解答 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，
那么当n=k+1时，（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+[3（k+1）-2]
=k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）-k+（3k-1）+3k+（3k+1）
=（2k-1）²+8k=（2k+1）²．
这就是说当n=k+1时，等式也成立．
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N₊都成立．

点评 本题考查数学归纳法的运用，解题的关键正确运用数学归纳法的证题步骤，属于中档题．