Question

20．将函数f（x）=sin$\frac{3}{4}$（x-2π）•cos$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{3}{4}$x在区间（0，+∞）内的极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n=1，2，3…
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将f（x）的极小值点按从小到大的顺序排成数列{x_n}，x_n＞0，设数列b_n=|x_2n-1-x_2n|，（n=1，2，3…），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用两角和、差的正弦公式化简可知f（x）=$\frac{1}{4}$sin（3x），进而结合极值的定义可得结论；
（2）通过（1）可知x_n=$\frac{4n-1}{6}$π，进而可知b_n=$\frac{2}{3}$π，计算即得结论．

解答 解：（1）f（x）=sin$\frac{3}{4}$（x-2π）•cos$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{3}{4}$x
=（sin$\frac{3}{4}$xcos$\frac{3}{2}$π-cos$\frac{3}{4}$xsin$\frac{3}{2}$π）•cos$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{3}{4}$x
=cos$\frac{3}{4}$x•cos$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{3}{4}$x
=$\frac{1}{2}$（2cos$\frac{3}{4}$x•sin$\frac{3}{4}$x）•cos$\frac{3}{2}$x
=$\frac{1}{2}$sin$\frac{3}{2}$x•cos$\frac{3}{2}$x
=$\frac{1}{4}$sin（3x），
令3x=$\frac{1}{2}$π+kπ，解得：x=$\frac{1}{6}$π+$\frac{1}{3}$kπ，
∴函数f（x）的极值点为x=$\frac{1}{6}$π+$\frac{1}{3}$kπ，
于是a_n=$\frac{2n-1}{6}$π；
（2）由（1）可知x_n=$\frac{4n-1}{6}$π，则b_n=|x_2n-1-x_2n|=$\frac{2}{3}$π，
∴数列{b_n}的前n项和为$\frac{2}{3}$nπ．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查数形结合的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．