Question

11．已知等差数列{a_n}中，a₁₆=$\frac{π}{2}$，若函数f（x）=sin2x-2cos²$\frac{x}{2}$，c_n=f（a_n），则数列{c_n}的前31的和为-31．

Answer 1

分析 等差数列{a_n}中，a₁₆=$\frac{π}{2}$，可得a₁+a₃₁=a₂+a₃₀=…=2a₁₆=π．函数f（x）=sin2x-cosx-1，可得c_n=f（a_n）=sin2a_n-cosa_n-1，c_k+c_32-k=sin2a_k+sin2a_32-k-（cosa_k+cosa_32-k）-2，利用和差化积可得：c_k+c_32-k=-2．即可得出．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，a₁₆=$\frac{π}{2}$，
∴a₁+a₃₁=a₂+a₃₀=…=2a₁₆=π．
函数f（x）=sin2x-2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x-cosx-1，
c_n=f（a_n）=sin2a_n-cosa_n-1，
c_k+c_32-k=sin2a_k+sin2a_32-k-（cosa_k+cosa_32-k）-2
=2sin（a_k+a_32-k）cos（a_k-a_32-k）-$2cos\frac{{a}_{k}+{a}_{32-k}}{2}$$cos\frac{{a}_{k}-{a}_{32-k}}{2}$-2
=-2．
∴数列{c_n}的前31的和=-2×15+（sin2a₁₆-cosa₁₆-1）
=-31．
故答案为：-31．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、“和差化积”、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．