Question

1．已知a是实数，函数f（x）=$\sqrt{x}$（x-a）．求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．

解答 解：函数的定义域为[0，+∞），
f（x）=$\sqrt{x}$（x-a）=x${\;}^{\frac{3}{2}}$-a•x${\;}^{\frac{1}{2}}$．
函数的导数f′（x）=$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{a}{2\sqrt{x}}$=）=$\frac{3}{2}$$\sqrt{x}$-$\frac{a}{2\sqrt{x}}$=$\frac{3x-a}{2\sqrt{x}}$，
若a≤0，则f′（x）≥0恒成立，此时函数单调递增，即函数的单调递增区间为[0，+∞），
若a＞0，
由f′（x）＞0得x＞$\frac{a}{3}$，此时函数单调递增，即函数的单调递增区间为[$\frac{a}{3}$，+∞）．
由f′（x）＜0得0≤x＜$\frac{a}{3}$，此时函数单调递减，即函数的单调递减区间为[0，$\frac{a}{3}$）．

点评 本题主要考查函数的单调区间的求解，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．