Question

9．已知△ABC的周长为$\sqrt{2}$+1，且sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC．
（1）求边AB的长．
（2）若△ABC的面积为$\frac{1}{6}$sinC，求三个内角C，A，B的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简$sinA+sinB=\sqrt{2}sinC$，得到a，b和c的关系式，再由三角形的周长为$\sqrt{2}+1$又得到a，b和c的关系式，两者联立即可求出AB的值；
（2）利用三角形的面积公式先求出C的大小，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC的周长为$\sqrt{2}$+1，且sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC．
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得：a+b=$\sqrt{2}$c，且a+b+c=$\sqrt{2}$+1，
∴$\sqrt{2}$c+c=$\sqrt{2}$+1，
∴c=1；即AB=1．
（2）∵△ABC的面积为$\frac{1}{6}$sinC，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{6}$sinC，
∴ab=$\frac{1}{3}$，
∵c=1，∴a+b=$\sqrt{2}$，
由余弦定理得：
cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{（a+b）}^{2}-2ab-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2-2×\frac{1}{3}-1}{2×\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，180°），
则C=60°．
∵sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sinA+sin（120°-A）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即sin（A+30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则A+30°=45°或A+30°=135°，
即A=15°，B=105°或A=105°，B=15°．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．