Question

19．已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且AB与平面BCD成60°角．当$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ACD}}$的值取到最大值时，二面角A-CD-B的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 根据直线和平面所成的角，求出$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ACD}}$的值取到最大值时的条件，进行求解即可．

解答 解：过A作AO⊥平面BCD，连接BO并延长交CD，于E，连接AE，
则BE是AB在底面BCD上的射影，
则∠ABE=60°，
∵AB⊥CD，AO⊥CD，
∴CD⊥平面ABE，即AE⊥CD，
则∠AEB是二面角A-CD-B的平面角，
则$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{\frac{1}{2}CD•BE}{\frac{1}{2}CD•AE}$=$\frac{BE}{AE}$，
要使$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ACD}}$的值取到最大值，则$\frac{BE}{AE}$取得最大，
由正弦定理得$\frac{BE}{AE}$=$\frac{sin∠BAE}{sin60°}$，
∴当sin∠BAE取得最大值，即当∠BAE=90°时取最大值．
此时∠AEB=30°，
故选：A

点评 本题主要考查二面角的求解，根据线面角的大小以及三角形面积之比之间的关系确定AE⊥平面BCD是解决本题的关键．