Question

14．已知函数f（x）定义在正整数集上，且对任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（8）=16，则f（2015）=4030．

Answer 1

分析 由f（x+2）=2f（x+1）-f（x），得到函数f（x）构成一个等差数列，求出数列的首项和公差，进行求解即可．

解答 解：对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
∴f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
则此函数的值构成了一个等差数列，首项f（1）=2，
∵f（8）=16，∴公差为d=$\frac{f（8）-f（1）}{8-1}=\frac{16-2}{8-1}=\frac{14}{7}$=2，
则f（2015）=2+2014×2=4030．
故答案为：4030

点评 本题主要考查函数值的计算根据条件关系判断函数f（x）构成等差数列，利用等差数列的通项公式进行求解是解决本题的关键．