Question

2．已知实数函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），方程f（x）=x在（0，1）上有两个不等实根x₁，x₂（x₁＜x₂）
（1）求f（$\frac{1}{2}$）的取值范围；
（2）设实数λ＞0，t=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$
求证：（i）x₁＜t＜x₂；
（ii）x₁＜f（t）＜x₂．

Answer 1

分析 （1）运用二次方程实根分布的表示，可得不等式组，注意判别式大于0，对称轴介于0和1，端点的函数值大于0，画出不等式组表示的区域，由三点代入即可得到所求范围；
（2）（i）由0＜x₁＜x₂＜1，λ＞0，作差比较，化简即可得证；
（ii）由x₁=f（x₁），t-x₁＞0，x₁+a=1-x₂＞0，作差比较可得x₁＜f（t）；同理可得f（t）＜x₂．

解答 解：（1）由题意可得x₁，x₂为方程x²+（a-1）x+b=0的两根，
即有x₁+x₂=1-a，x₁x₂=b，
由x₁，x₂∈（0，1），可得
$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+b＞0}\\{0＜-\frac{a-1}{2}＜1}\\{（a-1）^{2}-4b＞0}\end{array}\right.$，画出（a，b）表示的可行域，如右OAB表示的部分：
又f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$a+b，将A（-1，1）代入f（$\frac{1}{2}$）可得$\frac{3}{4}$；
将（0，0）代入，可得$\frac{1}{4}$；将B（1，0）代入f（$\frac{1}{2}$）可得$\frac{3}{4}$．
综上可得，f（$\frac{1}{2}$）的取值范围为（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）；
（2）证明：（i）由0＜x₁＜x₂＜1，λ＞0，
可得t-x₁=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$-x₁=$\frac{λ（{x}_{2}-{x}_{1}）}{1+λ}$＞0，
即有t＞x₁；
t-x₂=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$-x₂=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1+λ}$＜0，
即有t＜x₂．
综上可得，x₁＜t＜x₂；
（ii）由x₁=f（x₁），t-x₁＞0，x₁+a=1-x₂＞0，
可得f（t）-x₁=f（t）-f（x₁）=t²+at+b-x₁²-ax₁-b
=（t-x₁）（t+x₁+a）＞0，
可得f（t）＞x₁；
同样f（t）-x₂=f（t）-f（x₂）=t²+at+b-x₂²-ax₂-b
=（t-x₂）（t+x₂+a）＜0，
可得f（t）＜x₂．
综上可得，x₁＜f（t）＜x₂．

点评 本题考查二次函数和方程的关系，考查实根分布的表示，注意运用判别式和对称轴方程，同时考查不等式的证明，注意运用作差法，考查推理和运算能力，属于中档题．