Question

7．已知 函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（3）解关于x的不等式f（x²）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；          
（3）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），
当x＜0时，f（x）＞0．
令x₁＞x₂，则x₂-x₁＜0，且f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＞0，
由（1）知，f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在R上是减函数． 
（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），
则不等式f（x²）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x²）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），
即f（x²+3a）＞f（3x+ax），
∵f（x）在R上是减函数，
∴不等式等价为x²+3a＜3x+ax，即（x-3）（x-a）＜0，
当a=0时，不等式的解集为∅，
当a＞3时，不等式的解集为（3，a），
当a＜3时，不等式的解集为（a，3）．（12分）

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．