Question

Rt△ABC的斜边AB在平面α内，AC和BC与a所成的角分别为30°与45°，CD是斜边上的高，求CD与平面α所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：作CE⊥平面α，交α于E，连结AE，BE，DE，∠CAE=30°，∠CBE=45°，设CE=x，则AC=2x，CB=

2

x，AB=

6

x，CD=

2 2

6

x，AB⊥平面CDE，∠CDE是CD与平面α所成的角，由此能求出CD与平面α所成的角．

解答： 解：作CE⊥平面α，交α于E，连结AE，BE，DE，
∵CE⊥α，∴CE⊥AE，CE⊥BE，CE⊥DE，
∴∠CAE是AC和α所成的角，即∠CAE=30°，
∠CBE是BC和α所成的角，即∠CBE=45°，
设CE=x，则AC=2x，CB=

2

x，
∵AC⊥BC，∴AB=

6

x，CD=

2 2

6

x，
CD⊥AB，CE⊥AB，
∴AB⊥平面CDE，
DE⊥AB，
∴∠CDE是CD与平面α所成的角，
sin∠CDE=

CE

CD

=

x

2 2 6 x

=

3

2

，
∴∠CDE=60°，
∴CD与平面α所成的角为60°．

点评：本题考果直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．