Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+2cos2x-3
（Ⅰ）求f(

π

3

)的值
（Ⅱ）求f（x）在[-

π

6

，

π

4

]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）-2，代值计算可得；
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)-2，由x∈[-

π

6

，

π

4

]结合三角函数的值域可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=

3

sin2x+2cos2x-3
=

3

sin2x+cos2x-2=2sin（2x+

π

6

）-2，
代值计算可得f(

π

3

)=2sin（

2π

3

+

π

6

）-2=-1
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)-2，
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（

2π

3

+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-3，0]
∴f（x）最大值为0，最小值为-3

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值，属基础题．