Question

已知动点M（x，y）到直线l：y=4的距离是它到点N（0，1）的距离的2倍．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点P（3，0）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求|AB|．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出y₁+y₂，y₁y₂，结合y₁y₂得到关于m的方程，则直线m的斜率可求，即可求|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）∵动点M（x，y）到直线l：y=4的距离是它到点N（0，1）的距离的2倍，
∴|y-4|=2

x2+(y-1)2

，
∴

x2

3

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由A是PB的中点，得2x₁=3+x₂，y₁y₂．
由题意，直线m的斜率k存在．设直线m的方程为：x=my+3．
代入椭圆方程可得：（3+4m²）y²+24my+24=0，
∴y₁+y₂=-

24m

3+4m2

，y₁y₂=

24

3+4m2

，
因为2y₁=y₂．
则

(y1+y2)2-2y1y2

y1y2

=

5

2

，
代入整理可得

(-24m)2

(3+4m2)•24

=

9

2

解得m=±

3

2

．
∴|AB|=

1+m2

|y₁-y₂|=

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点评：本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．