Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为

40

3

．
（Ⅰ）求棱A₁A的长；
（Ⅱ）自行连接BD，证明：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A₁A=h，已知几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为

40

3

，利用等体积法V_ABCD-A1C1D1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B-A1B1C1，进行求解．
 （Ⅱ）根据题意四边形ABCD是正方形，可知AC⊥BD，根据D₁D⊥平面ABCD，可知AC⊥平面D₁DC，由A₁C₁∥AC，可得A₁C₁⊥平面D₁DC．从而可证平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．

解答：解：（Ⅰ）设A₁A=h，
∵几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为

40

3

，
∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=

40

3

，
即SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=

40

3

，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

40

3

，解得h=4．
∴A₁A的长为4．
证明：（Ⅱ）如图，连接AC、BD₁
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴A₁C₁∥AC．
∴四边形ABCD是正方形．
∴AC⊥BD；
∵D₁D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥D₁D又AC与BD相交
∴AC⊥平面D₁DC．   由A₁C₁∥AC．
∴A₁C₁⊥平面D₁DC．A₁C₁?平面A₁BC₁
∴平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力