Question

10．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．
（1）求C₁的直角坐标方程；
（2）曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数），求C₁与C₂的公共点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入曲线C₁的极坐标方程可得直角坐标方程．
（2）由曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为$\frac{π}{6}$．因此C₁的极坐标方程为：$θ=\frac{π}{6}$，或$θ=\frac{7π}{6}$（ρ＞0）．分别代入C₁的极坐标方程即可得出．

解答 解：（1）把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入曲线C₁的极坐标方程ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，
可得：x²+y²-4x+3=0，配方为：（x-2）²+y²=1．
（2）由曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为$\frac{π}{6}$．因此C₁的极坐标方程为：$θ=\frac{π}{6}$，或$θ=\frac{7π}{6}$（ρ＞0）．
将$θ=\frac{π}{6}$代入C₁可得：ρ²-2$\sqrt{3}$ρ+3=0，解得ρ=$\sqrt{3}$．
将$θ=\frac{7π}{6}$代入C₁可得：ρ²+2$\sqrt{3}$ρ+3=0，解得ρ=-$\sqrt{3}$，舍去．
故C₁与C₂的公共点的极坐标为$（\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．