Question

如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则
（Ⅰ）函数f（t）的解析式为

 

；
（Ⅱ）函数y=f（t）的图象与直线t=2、t轴围成的图形面积为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）结合图形，求出0＜t≤1时和1＜t≤2时满足条件的图形的面积，用分段函数表示f（t）的解析式；
（Ⅱ）因函数y=f（t）的图象与直线t=2、t轴围成的图形面积曲边梯形，用积分求出面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）由图形知，
当0＜t≤1时，此时满足条件的图形面积为
f（t）=

1

2

•t•t•tan

π

3

=

3

2

t²；
当1＜t≤2时，此时满足条件的图形面积为
f（t）=

1

2

×2×1×tan

π

3

-

1

2

•（2-x）•（2-x）•tan

π

3

=

3

-

3

2

（t-2）²；
∴函数f（t）=

3 2 t2，     0＜t≤1 - 3 2 (t-2)2+ 3 ，1＜t≤2

．
（Ⅱ）函数y=f（t）的图象与直线t=2、t轴围成的图形面积是

S=

∫

1 0

3

2

t²dt+

∫

2 1

（-

3

2

（t-2）²+

3

）dt
=

3

2

×

1

3

t³

|

1 0

+（-

3

2

×

1

3

t³

|

2 1

+2

3

×

1

2

t²

|

2 1

-2

3

t

|

2 1

+

3

t

|

2 1

）
=

3

6

-

7 3

6

+3

3

-2

3

+

3

=

3

．
故答案为：f（t）=

3 2 t2，     0＜t≤1 - 3 2 (t-2)2+ 3 ，1＜t≤2

；

3

．

点评：本题考查了求函数的解析式以及利用积分求曲边梯形的面积问题，解题时应结合图形，求出符合条件的解析式并求出面积，是综合题目．