Question

四棱锥P-ABCD的底面为棱形，且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2

3

a，E为PC的中点．
（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；
（2）求二面角E-AD-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，ABCD平面内垂直过点A且垂直AB的直线为y轴，AP为z轴，建立空直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面PAC所成角的大小．
（2）分别求出平面EAD的法向量和平面ADC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AD-C的余弦值．

解答： 解：（1）如图，以A为原点，AB为x轴，
ABCD平面内垂直过点A且垂直AB的直线为y轴，AP为z轴，
建立空直角坐标系，
∵四棱锥P-ABCD的底面为棱形，且∠DAB=60°，
PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2

3

a，E为PC的中点，
∴D（a，

3

a，0），P（0，0，2

3

a），C（3a，

3

a，0），
E（

3

2

a，

3

2

a，

3

a），A（0，0，0），
∴

DE

=(

a

2

，-

3 a

2

，

3

a)，

AP

=（0，0，2

3

a），

AC

=（3a，

3

a，0），
设平面PAC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AP =2 3 az=0 n • AC =3ax+ 3 ay=0

，取y=

3

，得

n

=（-1，

3

，0），
设直线DE与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

DE

＞|=|

- a 2 - 3a 2 +0

2• 4a2

|=

1

2

，
∴直线DE与平面PAC所成角的大小为30°．
（2）∵D（a，

3

a，0），E（

3

2

a，

3

2

a，

3

a），A（0，0，0），
∴

AD

=（a，

3

a，0），

AE

=（

3

2

a，

3

2

a，

3

a），
设平面EAD的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • AD =ax1+ 3 ay1=0 m • AE = 3 2 ax1+ 3 2 ay1+ 3 az1=0

，
取y₁=

3

，得

m

=（-3，

3

，

2 3

3

），
平面ADC的法向量

p

=(0，0，1)，
设二面角E-AD-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

2 3 3

40 3

|=

10

10

．
∴二面角E-AD-C的余弦值为

10

10

．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．