Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）直接用函数单调性的定义证明即可；
（2）由（1）易得函数在[1，4]上的单调性，从而得到最值．

解答 解：（1）结论：减函数
证明：设1≤x₁＜x₂，
∵$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＞0$，
所以f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；
（2）有（1）可知函数f（x）在区间[1，4]上为减函数，
∴$f（x）_{min}=f（4）=\frac{1}{5}，f（x）_{max}=f（1）=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数单调性的定义．属于基础题．