Question

【题目】以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.

（1）求椭圆及其“准圆”的方程；

（2）若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为；（2）弦的长为定值．

【解析】

试题分析：（1）求方程，关键是求，只要把两个已知条件转化为的方程即可，由得，由得，联立后可得结论；（2）这是定值问题，解题时设直线的方程为，且与椭圆的交点，把直线方程与椭圆方程联立并消元后得关于的一元二次方程，可得，计算，由＝0，可得的关系式，问题是弦长为定值，由于弦是定圆中的弦，因此只要求得圆心到直线的距离，如果为定值，则弦长也为定值．

试题解析：（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，

则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为.

（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，

联列方程组 代入消元得：

由

可得由得即，所以

此时成立，

则原点到弦的距离,

得原点到弦的距离为，则，

故弦的长为定值.