练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    14．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10$\sqrt{7}$cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
    （1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
    （2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．

    分析 （1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．
    （2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=$\frac{3}{5}$，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．

    解答 解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
    在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，
    ∵ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，
    又∵AC?平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，
    ∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，
    ∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
    ∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{NP}{MC}$，$\frac{AN}{40}=\frac{12}{30}$，得AN=16cm．
    ∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
    （2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
    在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，
    过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，
    ∵EFGH-E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，
    EG≠E1G1，
    ∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，
    ∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
    ∴E1Q=24cm，
    由勾股定理得：E1E=40cm，
    ∴sin∠EE1G1=$\frac{4}{5}$，sin∠EGM=sin∠EE1G1=$\frac{4}{5}$，cos$∠EGM=-\frac{3}{5}$，
    根据正弦定理得：$\frac{EM}{sin∠EGM}$=$\frac{EG}{sin∠EMG}$，∴sin$∠EMG=\frac{7}{25}$，cos$∠EMG=\frac{24}{25}$，
    ∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=$\frac{3}{5}$，
    ∴EN=$\frac{NP}{sin∠GEM}$=$\frac{12}{\frac{3}{5}}$=20cm．
    ∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．

    点评 本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    4．下列说法中正确的是（　　）
    ①如果α是第一象限的角，则角-α是第四象限的角
    ②函数y=sinx在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
    ③已知角α的终边上的点P的坐标为（3，-4），则sinα=-$\frac{4}{5}$
    ④已知α为第二象限的角，化简tanα$\sqrt{1-{{sin}^2}α}$=sinα．
    A．①②B．①③C．③④D．②④

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    5．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，则λ+μ的最大值为（　　）
    A．3B．2$\sqrt{2}$C．$\sqrt{5}$D．2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    2．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
    （1）（a+b）（a5+b5）≥4；
    （2）a+b≤2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    9．已知函数f（x）=x3-2x+ex-$\frac{1}{{e}^{x}}$，其中e是自然对数的底数．若f（a-1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[-1，$\frac{1}{2}$]．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    19．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
    123…m+n
    （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
    （2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    6．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）
    A．16B．14C．12D．10

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    3．函数f（x）=$\frac{1}{5}$sin（x+$\frac{π}{3}$）+cos（x-$\frac{π}{6}$）的最大值为（　　）
    A．$\frac{6}{5}$B．1C．$\frac{3}{5}$D．$\frac{1}{5}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    8．设数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N*）．
    （1）若bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，证明：数列{bn}为等差数列，并求出数列{bn}的通项公式；
    （2）若cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案