Question

19．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N^*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

Answer 1

分析 （1）设事件A_i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A₂）=P（A₂|A₁）P（A₁）+P（A₂|$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{1}}$），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
（2）X的所有可能取值为$\frac{1}{n}，\frac{1}{n+1}$，…，$\frac{1}{n+m}$，P（x=$\frac{1}{k}$）=$\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{m+n}^{n}}$，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=$\sum_{k=1}^{n+m}$（$\frac{1}{k}•\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{n+m}^{n}}$）=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k}$，由此能证明E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

解答 解：（1）设事件A_i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，
则p=p（A₂）=P（A₂|A₁）P（A₁）+P（A₂|$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{1}}$）
=$\frac{n-1}{m+n-1}×\frac{n}{m+n}+\frac{n}{m+n-1}×\frac{m}{m+n}$
=$\frac{{n}^{2}-n+mn}{（m+n）（m+n-1）}$=$\frac{n}{m+n}$．
证明：（2）∵X的所有可能取值为$\frac{1}{n}，\frac{1}{n+1}$，…，$\frac{1}{n+m}$，
P（x=$\frac{1}{k}$）=$\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{m+n}^{n}}$，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）=$\sum_{k=1}^{n+m}$（$\frac{1}{k}•\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{n+m}^{n}}$）=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k}$
=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k}$＜$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k-1}$=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-2}^{n-2}}{n-1}$
=$\frac{1}{（n-1）{C}_{n+m}^{n}}$•（${C}_{n-2}^{n-2}+{C}_{n-1}^{n-2}+…+{C}_{n+m-2}^{n-2}$）
=$\frac{1}{（n-1）{C}_{m+n}^{n}}•{C}_{m+n-1}^{n-1}$=$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$，
∴E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．