Question

13．在△ABC中，$tanA=\frac{1}{4}，tanB=\frac{3}{5}$，若△ABC最小边为$\sqrt{2}$，则△ABC最大边的边长为$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 △ABC中，由条件可得 0＜A＜B＜$\frac{π}{4}$，sinA=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，可得a为最小边，a=$\sqrt{2}$，c为最大边．根据tan（A+B）的值，可得A+B=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{3π}{4}$，再由正弦定理求得c的值．

解答 解：△ABC中，∵已知tanA$tanA=\frac{1}{4}，tanB=\frac{3}{5}$，
∴0＜A＜B＜$\frac{π}{4}$，C＞$\frac{π}{2}$，sinA=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，∴a为最小边，a=$\sqrt{2}$．
再根据C为最大角，可得边c为最大边．
∵tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}}{1-\frac{1}{4}×\frac{3}{5}}$=1，∴A+B=$\frac{π}{4}$，∴C=$\frac{3π}{4}$．
再由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{17}}}$=$\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，求得 c=$\sqrt{17}$．
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，两角和的正切函数公式的应用，大边对大角，属于基础题．