Question

18．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，在此几何体中，给出下面四个结论：①异面直线A₁D与AB₁所成角为60°；②直线A₁D与BC₁垂直；③直线A₁D与BD₁平行；④三棱锥A-A₁CD的体积为$\frac{1}{6}{a^3}$，其中正确的结论个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意，求出异面直线A₁D与AB₁所成的角，判断①正确；
判断异面直线A₁D与BC₁垂直，得出②正确；
求出异面直线A₁D与BD₁所成的角，判断③错误；
求出三棱锥A-A₁CD的体积，判断④正确．

解答 解：如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，
对于①，连接DC₁，A₁C₁，则△A₁C₁D是正三角形，∠A₁DC₁是异面直线
A₁D与AB₁所成的角，为60°，①正确；
对于②，连接AD₁，则∠AOA₁是异面直线A₁D与BC₁所成的角，且AD₁⊥A₁D，
∴异面直线A₁D与BC₁垂直，②正确；
对于③，直线A₁D与BD₁是异面直线，异面直线所成的角是60°，∴③错误；
对于④，三棱锥A-A₁CD的体积为V=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{2}$a•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$a=$\frac{1}{6}{a^3}$，∴④正确．
综上，正确的命题序号是①②④，共3个．
故选：C．

点评 本题考查了空间中的平行与异面直线所成的角的应用问题，是综合题．