Question

5．若双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2）²+y²=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，
圆（x-2）²+y²=4的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2）²+y²=4所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$=$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
解得：$\frac{4{c}^{2}-4{a}^{2}}{{c}^{2}}=3$，可得e²=4，即e=2．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．