Question

10．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=3，S₄=10，则 $\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{k}}$=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．

解答 解：等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=3，S₄=10，S₄=2（a₂+a₃）=10，
可得a₂=2，数列的首项为1，公差为1，
S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
则 $\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{k}}$=2[1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$]=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．